Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n（n+1），正項數(shù)列{b_n}滿足b_n+2=

bn+12

bn

，且b₁b₃=4，b₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=

S2n

4bn

，若c₁c₂…c_n取得最大值時，求n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=n（n+1），易求數(shù)列{a_n}的通項；{b_n}滿足b_n+2=

bn+12

bn

⇒{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，且q＞0，依題意，可求得b₁=1，q=2，從而可得其通項；
（2）c_n=

S2n

4bn

=

n(2n+1)

2n

＞0，要使c₁c₂…c_n取得最大值，只需求c_n不小于1時的最大n值，作差可得c_n+1-c_n=

(n+1)(2n+3)

2n+1

-

n(2n+1)

2n

=

-2n2+3n+3

2n

，討論分析即可求得n的最大值．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2，…1分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a₁=2滿足該式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n…3分
∵{b_n}滿足b_n+2=

bn+12

bn

，∴{b_n}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，且q＞0…4分
∴

b1q3=8 b12q2=4

，解得b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1…7分
（2）c_n=

S2n

4bn

=

n(2n+1)

2n

＞0，要使c₁c₂…c_n取得最大值，只需求c_n不小于1時的最大n值…9分
∵c_n+1-c_n=

(n+1)(2n+3)

2n+1

-

n(2n+1)

2n

=

-2n2+3n+3

2n

，…11分
當n=1，2時，c_n+1＞c_n，當n≥3時，c_n+1＜c_n，…12分
即c₁＜c₂＜c₃＞c₄＞c₅＞…13分
∵c₁=

3

2

＞1，c₄=

9

4

，c₅=

55

32

＞1，c₆=

39

32

＞1，c₇=

105

128

＜1，…14分
∴由數(shù)列{c_n}的單調(diào)性可知，{c_n}的前6項大于1，從第7項開始小于1，
∴c₁c₂…c_n取得最大值時，n的值為6…15分

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查作差分析與判定的綜合應(yīng)用能力，屬于難題．