Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，點(diǎn)E為PA中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（3）若直線PD與平面ABCD所成角的余弦值為

3

3

，求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF，由已知條件推導(dǎo)出四邊形EFCD是平行四邊形，由此能證明DE∥平面PBC．
（2）由線面垂直得PA⊥BC，再由AB⊥BC，得BC⊥平面PAB，由此能證明平面PBC⊥平面PAB．
（3）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過(guò)B平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值．

解答： （1）證明：取PB中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF，
∵E是PA中點(diǎn)，∴EF

∥

.

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，
∴EF

∥

.

CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴DE∥CF，
∵DE不包含于平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．
（3）解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，過(guò)B平行于AP的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知C（1，0，0），D（1，1，0），
∵直線PD與平面ABCD所成角的余弦值為

3

3

，
設(shè)P（0，0，t），

PD

=(1，1，-t)，平面ABCD的法向量

z

=(0，0，1)，
∴|cos＜

PD

，

z

＞|=

t

2+t2

=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，解得t=2或t=-2（舍），
∴

PD

=(1，1，-2)，

PC

=(1，0，-2)，
設(shè)平面PCD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

PD • n =x+y-2z=0 PC • n =x-2z=0

，取z=1，得

n

=（2，0，1），
∵平面PAB的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
∴平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．