Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₂+S₂=31，a_n+1=3a_n-2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：{a_n-2ⁿ}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù){a_n-2ⁿ}為等比數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用分組求和法即可求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3•2n=3(an-2n)，
又a₂=3a₁-2，則S₂=a₁+a₂=4a₁-2，
得a₂+S₂=7a₁-4=31，得a₁=5，
∴a1-21=3≠0，
∴

an+1-2n+1

an-2n

=3，
故{an-2n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-2n=3n-1(a1-21)=3n，
故an=2n+3n，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

+

3(1-3n)

1-3

=2n+1+

3n+1

2

-

7

2

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的應用及數(shù)列求和，根據(jù)分組求和法以及等比數(shù)列的求和公式是解決本題的關鍵．