Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+

b

x

+5（常數(shù)a，b∈R）滿(mǎn)足f（1）+f（-1）=14．
（1）求出a的值，并就常數(shù)b的不同取值討論函數(shù)f（x）奇偶性；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，-

3	0.5

）上單調(diào)遞減，求b的最小值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)b取最小值時(shí)，證明：f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)q且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列{a_n}，使得

2

5

=q a1+q a2+q a3+…+q an+…成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)條件很容易求出a，討論奇偶性根據(jù)定義即可，注意對(duì)于非奇非偶的，要舉出反例．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，再與所給單調(diào)區(qū)間比較即可求b的最小值．
（3）說(shuō)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，所以我們先來(lái)找f（x）的零點(diǎn)，找到之后再看怎樣讓它滿(mǎn)足所給等式即可．

解答： 解：（1）由f（1）+f（-1）=14得（a+b+5）+（a-b+5）=14，所以解得a=2；
所以f（x）=2x2+

b

x

+5，定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)b=0時(shí)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，有f（-x）=f（x）=2x²+5，所以f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)b≠0時(shí)，f（1）+f（-1）=14≠0，所以f（-1）≠-f（1），所以f（x）不是奇函數(shù)；f（-1）-f（1）=-2b≠0，所以f（x）不是偶函數(shù)；
所以，b=0時(shí)f（x）為偶函數(shù)，b≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）f′（x）=4x-

b

x2

=

4x3-b

x2

=0，解得x=

3	b 4

，所以x∈（-∞，

3	b 4

）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，

3	b 4

）上單調(diào)遞減，又f（x）在(-∞，-

3	0.5

)上單調(diào)遞減，所以-

3	0.5

≤

3	b 4

，解得 b≥-2，所以b的最小值是-2．
（3）在（2）的條件下，f（x）=2x2-

2

x

+5；
當(dāng) x＜0時(shí)，f（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng) x＞0時(shí)，f′（x）=4x+

2

x2

＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（

1

4

）=-

23

8

＜0，f（1）=5＞0；
∴f（x）在（

1

4

，1）上有一個(gè)零點(diǎn)q，即q∈(

1

4

，1)，且f（q）=2q2-

2

q

+5=0，整理成

1-q3

q

=

5

2

，所以

q

1-q3

=

2

5

；
又

q

1-q3

=q+q4+q7+…+q3n-2++…，所以

2

5

=q+q4+q7+…+q3n-2+…，且a_n=3n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題前兩問(wèn)比較基礎(chǔ)，只是在第二問(wèn)中注意，要說(shuō)明一個(gè)函數(shù)非奇非偶，只需舉出反例即可．對(duì)于第三問(wèn)，你要去尋找零點(diǎn)，尋找的最后找到了零點(diǎn)所在的區(qū)間，零點(diǎn)，即函數(shù)在零點(diǎn)處取值為零，所以會(huì)得到關(guān)于q的一個(gè)等式，經(jīng)過(guò)變形就出來(lái)了所給等式中的

2

5

，得到等式

q

1-q3

=

2

5

之后，會(huì)看出

q

1-q3

很像某個(gè)等比數(shù)列的和，從而完成了本題的求解．