已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),滿足f′(2-x)=f′(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)的圖象從左到右的單調(diào)性為依次為減-增-減-增,則稱該函數(shù)在區(qū)間(m,n)內(nèi)是“W-型函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=(x2+k)•
f′(x)
在區(qū)間(-1,2)內(nèi)是“W-型函數(shù)”,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(1)由f′(2-x)=f′(x)可得其對(duì)稱軸x=1,據(jù)此可得b值,求出直線y=4x-12與x軸交點(diǎn)(3,0),則f(3)=0,且f′(3)=4,從而可解得c、d值,根據(jù)f′(x)的符號(hào)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)利先求出g(x),求導(dǎo),然后根據(jù)“W-型函數(shù)”,轉(zhuǎn)化為方程再區(qū)間的上的根的問(wèn)題,問(wèn)題得以解決.
解答: 解:(1)∵f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d,
∴f′(x)=x2+2bx+c,
∵f′(2-x)=f′(x),
∴函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則b=-1.
∵直線y=4x-12與x軸的交點(diǎn)為(3,0),
∴f(3)=0,且f′(3)=4,即9+9b+3c+d=0①,且9+6b+c=4②,由①②解得c=1,d=-3.
f(x)=
1
3
x3-x2+x-3

(2)∵f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2,
∴g(x)=(x2+k)•
f′(x)
=(x2+k)•|x-1|=
(x2+k)(x-1),x∈[1,2)
(x2+kx)(1-x),x∈(-1.1)

當(dāng)x∈[1,2)時(shí),g′(x)=3x2-2x+k,
當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),g′(x)=-3x2+2x-k,
①若g'(x)=0在(-1,1)上有兩根,且g'(x)≥0對(duì)x∈[1,2)恒成立
當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),
△=4-12k>0
g′(-1)<0
g′(1)<0
且x∈[1,2)時(shí),g'(1)≥0,
解得:-1<k<
1
3

②若g'(x)=0在(-1,1)上有一根,且g'(x)=0在x∈[1,2)上有一根
x∈(-1,1)時(shí),
g′(-1)<0
g′(1)>0
且x∈[1,2)時(shí),
g′(1)<0
g′(2)>0

解得:-5<k<-1
③若g'(x)≤0在(-1,1)上恒成立,且g'(x)=0在x∈[1,2)上有兩根
而x∈[1,2)時(shí),g'(x)=3x2-2x+k對(duì)稱軸為x=
1
3
,所以不可能有兩根,舍去.
綜上:-5<k<-1或-1<k<
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷及函數(shù)最值的求解,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的強(qiáng)有力工具,考查分類討論思想,屬于難題.
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已知平面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
),若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t,使
x
=
a
+(t2-3)
b
y
=-k
a
+t
b
x
y

(1)試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)若t∈(0,+∞)時(shí),不等式k≥
1
2
t2+
1
4
mt恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(2)設(shè)bn=n•(3-log2
|an|
3
),設(shè)數(shù)列{
1
bn
}的前n項(xiàng)和為Tn,求使Tn
m
6
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π
3
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5
x
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5
x
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2
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