Question

【題目】已知橢圓C1： + =1（b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 點F2也為拋物線C2：y2=8x的焦點，過點F2的直線l交拋物線C2于A，B兩點．
（Ⅰ）若點P（8，0）滿足|PA|=|PB|，求直線l的方程；
（Ⅱ）T為直線x=﹣3上任意一點，過點F1作TF1的垂線交橢圓C1于M，N兩點，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由拋物線 得F2（2，0），

當直線l斜率不存在，即l：x=2時，滿足題意．

當直線l斜率存在，設l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，

∴ ．

設AB的中點為G，則 ，

∵|PA|=|PB|，∴PG⊥l，kPGk=﹣1，

∴ ，解得 ，則 ，

∴直線l的方程為 或x=2．

（Ⅱ）∵F2（2，0），∴ ，

設T點的坐標為（﹣3，m），

則直線TF1的斜率 ，

當m≠0時，直線MN的斜率 ，直線MN的方程是x=my﹣2，

當m=0時，直線MN的方程是x=﹣2，也符合x=my﹣2的形式．

∴直線MN的方程是x=my﹣2．

設M（x3，y3），N（x4，y4），則 ，得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

∴ ，

， = ，

∴ ，

當且僅當 ，即m=±1時，等號成立，此時 取得最小值 ．

【解析】（Ⅰ）由拋物線 得F2（2，0），當直線l斜率不存在，即l：x=2時，滿足題意．當直線l斜率存在，設l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線方程聯(lián)立可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式可得AB的中點 ，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，kPGk=﹣1，解得k即可得出．（Ⅱ）F2（2，0），可得橢圓C1的方程，設T點的坐標為（﹣3，m），則直線TF1的斜率 =﹣m．當m≠0時，直線MN的斜率 ，直線MN的方程是x=my﹣2，

當m=0時，上述方程．設M（x3，y3），N（x4，y4），與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、兩點之間的距離公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．