【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在說明理由；

（3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值．

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出， ，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，得， ，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果；（3）由,可設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立方程得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，結(jié)合基本不等式即可求出最小值.

試題解析：（1）∵左頂點(diǎn)為

∴

又∵

∴

又∵

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，則

當(dāng)時(shí)， ，

∴

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

直線的方程為，令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點(diǎn)使得,則，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）∵

∴的方程可設(shè)為，由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

由，得 ，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，

∴當(dāng)時(shí)， 的最小值為．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)（個(gè)）

加工的時(shí)間（小時(shí)）

（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）求出關(guān)于的線性回歸方程.

（3）試預(yù)測加工個(gè)零件需要多少時(shí)間？

附錄：參考公式： ，.

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【題目】設(shè)函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ）.

（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；

（2）若，試判斷的上單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）是否存在，使得當(dāng)時(shí)， 有最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， （）．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)恰為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等腰中， ，腰長為， 、分別是邊、的中點(diǎn)，將沿翻折，得到四棱錐，且為棱中點(diǎn)， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度（在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中選兩個(gè)）考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知、、為實(shí)數(shù)，，，記集合，，則下列命題為真命題的是（ ）

A.若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2

B.若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2

C.若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3

D.若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 在點(diǎn)處的切線與直線平行，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的值和實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證： （其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè).

（1）求的反函數(shù)；

（2）討論在上的單調(diào)性，并加以證明；

（3）令，當(dāng)時(shí)，在上的值域是，求的取值范圍.

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