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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為的中點，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的

坐標；若不存在說明理由；

（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值．

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出， ，由此能求出橢圓的標準方程；（2）直線l的方程為，與橢圓聯立，得， ，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果；（3）由,可設的方程為，與橢圓聯立方程得點的橫坐標，由，結合基本不等式即可求出最小值.

試題解析：（1）∵左頂點為

∴

又∵

∴

又∵

∴橢圓的標準方程為．

（2）直線的方程為，由消元得

化簡得， ，則

當時， ，

∴

∵點為的中點

∴點的坐標為，則.

直線的方程為，令，得點的坐標為，假設存在定點使得,則，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定點的坐標為.

（3）∵

∴的方程可設為，由得點的橫坐標為

由，得 ，

當且僅當即時取等號，

∴當時， 的最小值為．

練習冊系列答案
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【題目】某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數據如下：

零件的個數（個）

加工的時間（小時）

（1）在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖；

（2）求出關于的線性回歸方程.

（3）試預測加工個零件需要多少時間？

附錄：參考公式： ，.

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【題目】（本小題滿分13分）甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84

乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（1）用莖葉圖表示這兩組數據；

（2）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度（在平均數、方差或標準差中選兩個）考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．

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【題目】已知、、為實數，，，記集合，，則下列命題為真命題的是（ ）

A.若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2

B.若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2

C.若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3

D.若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3

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【題目】已知函數 在點處的切線與直線平行，且函數有兩個零點.

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（2）記函數的兩個零點為，求證： （其中為自然對數的底數）.

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【題目】設.

（1）求的反函數；

（2）討論在上的單調性，并加以證明；

（3）令，當時，在上的值域是，求的取值范圍.

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