Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：DA₁⊥ED₁；

（Ⅱ）若直線DA₁與平面CED₁成角為45°，求的值；

（Ⅲ）寫出點(diǎn)E到直線D₁C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），設(shè)E（1，m，0）（0≤m≤1）

（Ⅰ）證明：=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1）

∴•=0

∴DA₁⊥ED₁；（4分）

（Ⅱ）解：設(shè)平面CED₁的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則

∵=（0，﹣1，1），=（1，m﹣1，0）

∴．

取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．

∵直線DA₁與平面CED₁成角為45°，

∴sin45°=|cos＜，＞|=，

∴=，解得m=．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

（Ⅲ）解：點(diǎn)E到直線D₁C距離的最大值為，此時(shí)點(diǎn)E在A點(diǎn)處．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）