Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c．
①若ab＞c²，則C＜

π

3

；        ②若a+b＞2c，則C＜

π

3

；
③若a³+b³=c³，則C＜

π

2

；      ④若（a+b）c＜2ab，則C＜

π

2

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，則C＞

π

3

．
其中所有敘述正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：①利用余弦定理結(jié)合均值不等式；②利用余弦定理，再結(jié)合均值定理即可證明；③利用反證法，假設(shè)C≥

π

2

時，推出與題設(shè)矛盾，即可證明此命題正確；④取特殊值，在滿足條件的情況下，判斷角C的大小；⑤把不等式變形求出c²的范圍，然后利用基本不等式結(jié)合余弦定理求解角C的范圍．

解答： 解：①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∵a²+b²≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b是取等號），
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)①正確；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)②正確；
③假設(shè)C≥

π

2

，則c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，與a³+b³=c³矛盾，
∴假設(shè)不成立．即C＜

π

2

成立，選項(xiàng)③正確．
④任取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得C為銳角，選項(xiàng)④正確；
⑤由已知條件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c²＜

2a2b2

a2+b2

，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴0＜C＜

π

3

，命題⑤錯誤．
則命題正確的是①②③④．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．