Question

已知函數(shù)（）．

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；

若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí),,

,

函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

即                                     ……………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)

則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減

得，即.                  …………9分

（Ⅲ）由得.

當(dāng)時(shí)則在上是單調(diào)遞增，

因此函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.                  …………10分

當(dāng)時(shí)，由得

因此，在上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，

所以.

一方面，當(dāng)從右邊趨近于0時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

因此，                                          …………11分

另一方面，由得，即

因此，

很明顯在上是單調(diào)遞增且

根據(jù)題意得   ，

即方程有且只有一個(gè)大于1的正實(shí)數(shù)根.

設(shè)，由得解得

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是                          ………………14分