16.已知函數(shù)f(x)=x3-mx,x∈R,若方程f(x)=2在x∈[-4,4]恰有3個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是$({3,\frac{31}{2}}]$.

分析 函數(shù)f(x)=x3-mx,x∈R,若方程f(x)=2在x∈[-4,4]恰有3個不同的實數(shù)解,則g(x)=x3-mx-2在x∈[-4,4]恰有3個不同的零點,進(jìn)而求出函數(shù)的兩個極值點,根據(jù)極大值為正,極小值為負(fù),g(-4)不大于0,g(4)不小于0,可得實數(shù)m的取值范圍.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=x3-mx,x∈R,若方程f(x)=2在x∈[-4,4]恰有3個不同的實數(shù)解,
∴g(x)=x3-mx-2在x∈[-4,4]恰有3個不同的零點,
g′(x)=3x2-m=0時,x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$,
故m>0,且$\sqrt{\frac{m}{3}}$<4,即0<m<48,
且$\left\{\begin{array}{l}g(-4)≤0\\ g(-\frac{m}{3})>0\\ g(\frac{m}{3})<0\\ g(4)≥0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}-66+4m≤0\\ \frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2>0\\-\frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2<0\\ 62-4m≥0\end{array}\right.$,
解得:m∈$({3,\frac{31}{2}}]$,
故答案為:$({3,\frac{31}{2}}]$.

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷,熟練掌握方程根與對應(yīng)函數(shù)零點之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

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