Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，單調(diào)遞減的等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且a₃=5，S₃=9，b₂-1=a₂，T₃=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)M_n=lgb₁+lgb₂+…+lgb_n，求M_n的最值及此時(shí)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先求出兩個(gè)基本量x₁和d．再求通項(xiàng)公式．
（2）注意到lgb_n是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是二次函數(shù)的知識去解題．

解答： 解：（1）由已知得

a3=5 S3=9

⇒

a1+2d=5 3a1+3d=9

解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1
（2）由題意，b₂=4=b₁q，T₃=b₁+b₁q+b₁q²=14．，解得q=

1

2

或q=2（等比數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，故舍去），故有b₁=8．
易得b_n=8（

1

2

）^n-1
而{lgb_n}是以lg8為首項(xiàng)，lg0.5為公差的等差數(shù)列，
∴M_n=lg8×n+0.5n（n-1）lg0.5-lg0.5=-0.5lg2[（n-3.5）²-49/4]
∴n=3或4時(shí)有最大值6lg2．

點(diǎn)評：本題中考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本知識點(diǎn)及兩者的聯(lián)系，屬于中檔題．