Question

16．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-5≤0}\\{y≥\frac{1}{12}{x}^{4}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，則$\frac{y}{x}$的最小值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，為圖中陰影部分，設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個動點，得$\frac{y}{x}$=K_OP是原點與P點連線的斜率．運動P點并觀察斜率的變化，可得$\frac{y}{x}$，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)P與A重合時，的最小值．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-5≤0}\\{y≥\frac{1}{12}{x}^{4}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，
則$\frac{y}{x}$表示直線的斜率，由可行域可知可行域內(nèi)的點與原點連線的最小值在y=$\frac{1}{12}{x}^{4}+\frac{1}{4}$，與y=kx相切時k的值．
可得k=$\frac{1}{12}{x}^{3}+\frac{1}{4x}$，令g（x）=$\frac{1}{12}{x}^{3}+\frac{1}{4x}$，x＞0，
g′（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-$\frac{1}{4{x}^{2}}$，令$\frac{1}{4}{x}^{2}$-$\frac{1}{4{x}^{2}}$=0，可得x=1，x∈（0，1），g（x）是減函數(shù)，x＞1，函數(shù)是增函數(shù)，
g（1）是函數(shù)g（x）的最小值為：$\frac{1}{12}+\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$．
所以$\frac{y}{x}$的最小值為：$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線性規(guī)劃，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最小值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．