Question

如圖是一個從A→B的”闖關(guān)”游戲．規(guī)則規(guī)定：每過一關(guān)前都要拋擲一個在各面上分別標有1，2，3，4的均勻的正四面體．在過第n（n=1，2，3）關(guān)時，需要拋擲n次正四面體，如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2ⁿ，則闖關(guān)成功．
（1）求闖第一關(guān)成功的概率；
（2）記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）拋一次正四面體面朝下的數(shù)字有1，2，3，4四種情況，大于2的有兩種情況，由此能求出闖第一關(guān)成功的概率．
（2）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）拋一次正四面體面朝下的數(shù)字有1，2，3，4四種情況，
大于2的有兩種情況，
∴闖第一關(guān)成功的概率p=

1

2

．
（2）記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)學(xué)之和大于2ⁿ”為事件A_n，
則P（A₁）=

1

2

；
拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示：
∴P（A₂）=

10

16

=

5

8

，
設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z，
考慮x+y+z＞8的情況，
當x=1時，y+z＞7有1種情況，
當x=2時，y+z＞6有3種情況，
當x=3時，y+z＞5有6種情況，
當x=4時，y+z＞4有10種情況，
∴P（A₃）=

1+3+6+10

43

=

5

16

，
由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A1

）=

1

2

，
P（X=1）=P（A1

.

A2

）=

1

2

×

3

8

=

3

16

，
P（X=2）=P（A1A2

.

A3

）=

1

2

×

5

8

×

11

16

=

55

256

，
P（X=3）=P（A₁A₂A₃）=

1

2

×

5

8

×

5

16

=

25

256

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 2	3 16	55 256	25 256

EX=0×

1

2

+1×

3

16

+2×

55

256

+3×

25

256

=

233

256

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年的高考中都是必考題型．