Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞1）為奇函數(shù)
（1）求實數(shù)m的值；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間（無需證明）；
（3）若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的s∈[a，2014a]，都有t∈[a，a²]滿足方程f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）+f（x）=0，求出m的值；
（2）m=1時，f（x）=log_a

x+1

x-1

，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意，f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c可化為log_as+log_at=c，即s=

ac

t

（a＞1）；
考查反比例函數(shù)s=

ac

t

在區(qū)間[a，a²]的單調(diào)性，得

a= ac a2 2014a= ac a

，從而求出a、c的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞1）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=log_a

-mx+1

-x-1

+log_a

mx+1

x-1

=log_a

(-mx+1)(mx+1)

(-x-1)(x-1)

=0，
∴1-m²x²=1-x²，
即m=±1，m=-1不合題意，
∴m=1；
（2）當m=1時，奇函數(shù)f（x）=log_a

x+1

x-1

，

x+1

x-1

＞0；
∴x＜-1，或x＞1；
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞）；
（3）∵f(

s+1

s-1

)+f(

t+1

t-1

)=c，即log_as+log_at=c；
∴s＞0，t＞0，∴s=

ac

t

（a＞1）；
該函數(shù)是反比例函數(shù)，
∴函數(shù)s=

ac

t

在區(qū)間[a，a²]上單調(diào)遞減；
∴

a= ac a2 2014a= ac a

，
又∵a＞1，c只有一個值；
∴解得c=3，a=2014，
即實數(shù)a的值是2014．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，利用函數(shù)的單調(diào)性求方程組的解，是中檔題．