Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n²-a_n+2．求證：1≤a_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答： 解：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，滿足1≤a_n＜2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=

1

2

a₁²-a₁+2=

3

2

，滿足1≤a_n＜2．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式1≤a_k＜2成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2

a_k²-a_k+2=

1

2

（a_k-1）²+

3

2

．
∵1≤a_k＜2，
∴

3

2

≤a_k+1＜2，滿足1≤a_k+1＜2，
由①②可知，對(duì)任意的n∈N^•，
不等式1≤a_n＜2．恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和不等式的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)歸納法是解決本題的關(guān)鍵．