Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求異面直線EF與CD₁所成角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD，則EF∥BD，從而四邊形是BB₁D₁D是平行四邊形，由此能證明EF∥平面CB₁D₁．
（Ⅱ）連接A₁B，A₁D，則四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，EF∥BD，從而∠A₁BD就是異面直線EF與CD₁所成角，由此能求出異面直線EF與CD₁所成角．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BD，∵E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∴EF∥BD，
∵BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁，
∴四邊形是BB₁D₁D是平行四邊形，
∴BD∥B₁D₁，∴EF∥BD，
∵B₁D₁?平面B₁D₁C，EF?面B₁D₁C，
∴EF∥平面CB₁D₁．
（Ⅱ）解：連接A₁B，A₁D，∵AD

∥ .

.

BC，AD

∥ .

.

A1D1，
∴BC

∥ .

.

A1D1，∴四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，…（8分）
∴BA₁∥CD₁，又∵EF∥BD，
∴∠A₁BD就是異面直線EF與CD₁所成角  …（10分）
∵在正方體AC₁中A₁B=A₁D=BD，
∴∠A₁BD=60°，
∴異面直線EF與CD₁所成角為60°．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用．