Question

在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，直線l的參數方程是

x= 3 2 t y=2+ 1 2 t

（t為參數）．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若點M，N分別為曲線C和直線l上的動點，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數方程

分析：（1）運用代入法可化簡直線方程為普通方程，運用x=ρcosθ，x²+y²=ρ²可化極坐標方程為直角坐標方程；
（2）求出圓心和直線上的點的距離的最小值，再由d-r即為所求最小值．

解答： 解：（1）ρ=4cosθ，即有ρ²=4ρcosθ，即有
曲線C的直角坐標方程為（x-2）²+y²=4，
運用代入法，可得直線l的普通方程為：x-

3

y+2

3

=0；
（2）設圓心C（2，0）到直線l上任意一點的距離為d，
d2=(

3

2

t-2)2+(

1

2

t+2)2=t2+2(1-

3

)t+8，
所以t=

3

-1時，d²取得最小值，且為4+2

3

，
即有d的最小值為1+

3

，
所以|MN|的最小值為d-r=1+

3

-2=

3

-1．

點評：本題考查參數方程和極坐標方程與普通方程的互化，考查直線和圓的位置關系，考查兩點的距離公式及運用，屬于中檔題．