分析 (1)利用遞推關(guān)系:當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=1,解得a1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn+1=bn-2,變形為bn+1-1=3(bn-1),利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出.
(3)cn=(12)nlog332n−1=(2n−1)•(12)n.再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 解:(1)①當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=1,∴a1=12.
②當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=an-1-an,
∴an=12an−1,
∴數(shù)列{an}是以a1=12為首項(xiàng),公比為12的等比數(shù)列;
∴an=12•(12)n−1=(12)n.
(2)證明:∵bn+1=bn-2,∴bn+1-1=3(bn-1),
又∵b1-1=3,∴{bn-1}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
∴bn−1=3n,∴bn=3n+1.
(3)cn=(12)nlog332n−1=(2n−1)•(12)n.
∴Tn=1×12+3×(12)2+5×(12)3+…+(2n−3)•(12)n−1+(2n−1)•(12)n,12Tn=1×(12)2+3×(12)3+5×(12)4+…+(2n−3)•(12)n+(2n−1)•(12)n+1,
∴(1−12)Tn=1+2[(12)2+(12)3+…+(12)n−1+(12)n]−(2n−1)•(12)n+1
=12+2×(12)2(1−(12)n−1)1−12−(2n−1)•(12)n+1=12+1−(12)n−1−(2n−1)•(12)n+1=−4×(12)n+1−(2n−1)•(12)n+1
=32−(2n+3)•(12)n+1,
∴Tn=3−2n+32n.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 12015 | B. | 12016 | C. | 20142015 | D. | 20152016 |
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