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5.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+an=1(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=4,bn+1=3bn-2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列{bn-1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=anlog3(b2n-1-1),其前n項(xiàng)和為Tn,求Tn

分析 (1)利用遞推關(guān)系:當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=1,解得a1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)bn+1=bn-2,變形為bn+1-1=3(bn-1),利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出.
(3)cn=12nlog332n1=2n112n.再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)①當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=1,∴a1=12
②當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=an-1-an,
an=12an1
∴數(shù)列{an}是以a1=12為首項(xiàng),公比為12的等比數(shù)列;
an=1212n1=12n
(2)證明:∵bn+1=bn-2,∴bn+1-1=3(bn-1),
又∵b1-1=3,∴{bn-1}是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
bn1=3n,∴bn=3n+1
(3)cn=12nlog332n1=2n112n
Tn=1×12+3×122+5×123++2n312n1+2n112n,12Tn=1×122+3×123+5×124++2n312n+2n112n+1,
112Tn=1+2[122+123++12n1+12n]2n112n+1
=12+2×122112n11122n112n+1=12+112n12n112n+1=4×12n+12n112n+1
=322n+312n+1,
Tn=32n+32n

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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