(12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點,平面ABC

（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離.

（1）見解析（2）二面角的余弦值為．（3）．

解析試題分析：(1)證明線面垂直，根據(jù)其判定定理，只須證明AB1垂直這個面內(nèi)的兩條相交直線即可，本小題顯然應(yīng)證：.
(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個面的法向量，然后再利用求解即可.
(3)利用空間向量法點C到平面的距離根據(jù)來解即可.
（1）取中點，連結(jié)． 為正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，平面．
取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）設(shè)平面的法向量為．
，．，，
令得
由（1）知平面，為平面的法向量．
   二面角的余弦值為．
（3）由（2），為平面法向量，  ．
點到平面的距離．
考點：空間向量法證明線面垂直，求二面角，點到直線的距離，線面垂直的判定定理.
點評：掌握線線、線面、面面的平行與垂直判斷與性質(zhì)是解決此類問題的前提.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，四邊形與均為菱形， ，且，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：AE∥平面FCB；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，
，點是的中點。

（1）求證：
（2）求與平面所成的角的正切值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中,底面,四邊形中, ,, ,,E為中點.
（1）求證：CD⊥面PAC；（2）求:異面直線BE與AC所成角的余弦值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分13分）如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點，設(shè)，，．

（1）用表示；
（2）求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，
N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=2，E，F(xiàn)分別是D1B，AD的中點，
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鯡點的坐標；
（2）證明：EF是異面直線D1B與AD的公垂線；
（3）求二面角D1—BF—C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形中（圖1），是的中點，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）
（1）求證：平面；
（2）求二面角A—DC—B的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．
（I）求證：AD⊥平面SBC；
（II）試在SB上找一點E，使得BC//平面ADE，并證明你的結(jié)論．

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