【題目】已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于，直線交直線于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若點(diǎn)的軌跡與矩形的四條邊都相切，探究矩形對(duì)角線長是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)利用交軌法，求出點(diǎn)的軌跡方程；(2) 設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，則切線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，得.由得到

，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩根即為與，

由，可知，即，即點(diǎn)為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，故矩形對(duì)角線長為定值.

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)， ， ，其中.

由題意，得， .

由，①

，②

兩式相乘得.

∵，

∴，

代入上式得

，

由①與，得，

①÷②，得.

故點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，

則切線的斜率存在且不為0，設(shè)斜率為，

則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，

得.

，

即.

這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩根即為與，

由，

得.

設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故可知，

同理，得，

即點(diǎn)為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，

故矩形對(duì)角線長為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)（異于，），點(diǎn)在線段上，且滿足.已知，，設(shè).

（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；

（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（　　）

A. 有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B. 四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形

C. 有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D. 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1-BCDE的體積為36，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】母線長為，底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球，與圓錐的側(cè)面、底面都相切，現(xiàn)放入一些小球，小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切，這樣的小球最多可放入__________個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，過作兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求△的面積的最小值；

（2）若且，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為米的半圓形花圓中設(shè)計(jì)一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點(diǎn)（與不重合），沿修一條直線段小路，在路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再沿弧修一條弧形小路，在小路的一側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計(jì)。

（1）設(shè)（弧度），將綠化帶的總長度表示為的函數(shù)；

（2）求綠化帶的總長度的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率是，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與圓相切：

（ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（ⅱ）若直線過定點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，與圓交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2015年12月10日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經(jīng)成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標(biāo)準(zhǔn)療法，目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速，調(diào)查表明，人工種植的青蒿的長勢與海撥高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定人工種植的青蒿的長勢等級(jí)，若，則長勢為一級(jí)；若，則長勢為二極；若，則長勢為三級(jí)，為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況，研究人員隨機(jī)抽取了10塊青蒿人工種植地，得到如下結(jié)果：

種植地編號(hào)












種植地編號(hào)












（1）若該地有青蒿人工種植地180個(gè)，試估計(jì)該地中長勢等級(jí)為三級(jí)的個(gè)數(shù)；

（2）從長勢等級(jí)為一級(jí)的青蒿人工種植地中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求這兩個(gè)人工種植地的綜合指標(biāo)均為4個(gè)概率.

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