Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：的離心率為，點(diǎn)A(2，1)是橢圓E上的點(diǎn)．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線l1，l2分別與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，己知△ABC的面積為，求直線BC的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）x＝或x－4y－2＝0

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合，解方程組求得的值，從而得到橢圓方程.（2）首先考慮直線斜率不存在的情況，此時(shí)面積不合題意.當(dāng)直線斜率存在是，設(shè)出之心方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用弦長公式求出，同理求得，再用三角形面積為列方程，求得直線的斜率，由此求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程.

解：(1) 因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以＝，

又因?yàn)?/span>a2＝b2＋c2＝2c2，所以a2＝2b2＝2c2，

因?yàn)辄c(diǎn)A(2，1)是橢圓E上的點(diǎn)，所以＋＝1

解得b2＝3，a2＝6，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1．

(2)當(dāng)AB的斜率不存在或?yàn)?/span>0時(shí)，AB＝4或2，此時(shí)△ABC的面積為4，不合題意舍去；

當(dāng)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，則直線AB方程為y－1＝k(x－2)，

由解得或

AB＝|－2|＝||，

同理將上式中的k用－替換，得AC＝||，

因?yàn)?/span>△ABC的面積為，所以AB AC＝||||＝，

化簡得＝，

當(dāng)k2≥1時(shí)，原方程可化為8k4－25k2－28=0，解得k2=4，

當(dāng)k2≤1時(shí)，解得k2=，

即k=2或－2或或－，

當(dāng)AB的斜率2時(shí)，AC的斜率－，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)(，－)，C點(diǎn)坐標(biāo)(，)，

此時(shí)直線BC的方程為x＝，

當(dāng)AB的斜率－2時(shí)，AC的斜率，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)(，)，C點(diǎn)坐標(biāo)(－2，－1)，

此時(shí)直線BC的方程為x－4y－2＝0，

綜上，直線BC的方程為x＝或x－4y－2＝0．