已知函數(shù)y=sinx+cosx，x∈R．
（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx （x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
【答案】分析：（1）本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力．
（2）圖象變換過程中只有平移沒有伸縮，這樣就降低了本題的難度，同學們不會在平移的大小上出錯．
解答：解：（1）y=sinx+cosx
=2（sinxcos+cosxsin）
=2sin（x+），x∈R
y取得最大值必須且只需
x+=，k∈Z，
即x=，k∈Z．
所以，當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為
{x|x=+2kπ，k∈Z}．
（2）變換的步驟是：
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y=sin（x+）的圖象；
②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=2sin（x+）的圖象；
經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y=sinx+cosx的圖象．
點評：三角變換過程中最后結(jié)果應(yīng)滿足下列要求：i函數(shù)種類應(yīng)盡可能少；ii次數(shù)應(yīng)盡可能低；iii項數(shù)盡可能少；iv盡可能不含分母；v盡可能去掉括號．若是研究三角函數(shù)的性質(zhì)，最后結(jié)果一定是y=Asin（ωx+φ）的形式．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x求它的最大、最小值，并指明函數(shù)取最大、最小值時相應(yīng)x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+
3
cosx．
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx在點(
π
3
，
3
2
)的切線與y=log2x在點A處的切線平行，則點A的橫坐標是
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
2log2e．（注：填
2
ln2
也給分）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+cosx，給出下列四個命題：
（1）若x∈[0，
π
2
]，則y∈(0，
2
]；
（2）直線x=-
3π
4
是函數(shù)y=sinx+cosx圖象的一條對稱軸；
（3）在區(qū)間[
π
4
，
5π
4
]上函數(shù)y=sinx+cosx是減函數(shù)；
（4）函數(shù)y=sinx+cosx的圖象可由y=
2
sinx的圖象向右平移
π
4
個單位而得到．其中正確命題的序號是
（2）（3）
（2）（3）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2
2
sinxcosx，則下列結(jié)論中，正確的序號是
③
③
．
①兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點（-
π
4
，0）成中心對稱；
②兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-
π
4
成軸對稱；
③兩函數(shù)在區(qū)間（-
π
4
，
π
4
）上都是單調(diào)增函數(shù)； 
④兩函數(shù)的最小正周期相同．

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