Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）+ax
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若a∈（-1，0），函數(shù)g（x）=a|f′（x）|的圖象上存在P₁，P₂兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)滿足1＜x₁＜x₂＜6，且g（x）的圖象在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再分類討論，當(dāng)a≥0時(shí)，和a＜0時(shí)，分別利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）先把g（x）化為分段函數(shù)，分別求出函數(shù)在點(diǎn)P₁和P₂處的切線斜率，根據(jù)斜率的乘積等于-1，得到（x₁+a）²（x₂+a）²=a²，繼而得到關(guān)于a的不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（x+a）+ax，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞），
∴f′（x）=

1

x+a

+a=

ax+a2+1

x+a

，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）=

1

x+a

+a＞0，函數(shù)在（-a，+∞）為增函數(shù)，無(wú)極值
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=-a-

1

a

＞-a
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得-a＜x＜-a-

1

a

，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得x＞-a-

1

a

，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=-a-

1

a

，函數(shù)f（x）有極大值，極大值為f（-a-

1

a

）=ln（-

1

a

）-a²-1，
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）為增函數(shù)，無(wú)極值，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-a，-a-

1

a

）為增函數(shù)，在（-a-

1

a

，+∞）函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)f（x）有極大值，極大值為ln（-

1

a

）-a²-1；

（2）由（1）知，當(dāng)a∈（-1，0）時(shí)，
g（x）=a|f′（x）|=a|

1

x+a

+a|=

a x+a +a2，x∈(-a，-a- 1 a ) - a x+a -a2，x∈(-a- 1 a ，+∞)

函數(shù)圖象上存在符合要求的兩點(diǎn)，必須1＜x₁＜x₂＜6，得：-1＜a＜-3+2

2

；
當(dāng)x∈（-a，-a-

1

a

）時(shí)，g（x）=

a

x+a

+a²，函數(shù)在點(diǎn)P₁處的切線斜率為k₁=-

a

(x1+a)2

；
當(dāng)x∈（-a-

1

a

，+∞）時(shí)，g（x）=-

a

x+a

-a²，函數(shù)在點(diǎn)P₂處的切線斜率為k₂=

a

(x2+a)2

；
函數(shù)圖象在兩點(diǎn)處切線互相垂直即為：

a

(x1+a)2

•

a

(x2+a)2

=1；
即（x₁+a）²（x₂+a）²=a²   
因?yàn)?＜1+a＜x₁+a＜-

1

a

＜x₂+a＜6+a，
故上式即為（x₁+a）（x₂+a）=-a
所以

- 1 a (a+1)＜-a - 1 a (6+a)＞-a

，解得：-2＜a＜

1- 5

2

綜合得：所求a的取值范圍是（-1，

1- 5

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，以及點(diǎn)的存在問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，增強(qiáng)了學(xué)生的運(yùn)算能力，處理問(wèn)題的能力，屬于難題