Question

設(shè)數(shù)列a_n=1-

1

n

，d_n=

1- an

n

，記S_n為數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，證明S_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：根據(jù)d_n=

1- an

n

，a₁=0，d₁=

1

1

=1，d₁=1，
得出n＞1時(shí)，d_n=

1- 1- 1 n

n

=

n - n-1

n

＜

n - n-1

n • n-1

=

1

n-1

-

1

n

，裂項(xiàng)求和問題．

解答： 證明：∵a_n=1-

1

n

，d_n=

1- an

n

，a₁=0，d₁=

1

1

=1
∴d_n=

1- 1- 1 n

n

=

n - n-1

n

＜

n - n-1

n • n-1

=

1

n-1

-

1

n

，n＞1
∴d₁=1，
d₂＜1-

1

2

d₃＜

1

2

-

1

3

，
d₄＜

1

3

-

1

4

，
…
d_n＜

1

n-1

-

1

n

，
相加；S_n＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2-

1

n

＜2，
∴S_n＜2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的裂項(xiàng)方法，放縮法求解數(shù)列的和，屬于難題，關(guān)鍵是通項(xiàng)公式的求解運(yùn)算．