已知f(x)=
m
x+1
+nlnx(x>0,m,n為常數(shù))在x=1處的切線方程為x+y-2=0.
(Ⅰ)若對任意實數(shù)x∈[
1
e
,1],使得對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)求證:對任意正整數(shù)n,有4
n
k=1
k
k+1
+
n
k=1
lnk≥2n.
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(I)f′(x)=-
m
(x+1)2
+
n
x
,由于函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為x+y-2=0.可得f′(1)=-1,f(1)=1,解出可得f(x)=
2
x+1
-
1
2
lnx
.f′(x)=-
2
(x+1)2
-
1
2x
.對任意實數(shù)x∈[
1
e
,1],使得對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立,可得對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有f(x)min≥t3-t2-2at+2成立,x∈[
1
e
,1],即對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有1≥t3-t2-2at+2成立?a≥
1
2
t2-
1
2
t+
1
2t
,對任意的t∈[
1
2
,2].令g(t)=
1
2
t2-
1
2
t+
1
2t
,t∈[
1
2
,2].利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
(II)由(I)可得f(x)=
2
x+1
-
1
2
lnx
.f′(x)=-
2
(x+1)2
-
1
2x
.可得x∈(0,1],f(x)≥f(1)=1,即
2
x+1
-
1
2
lnx≥1
,令x=
1
k
∈(0,1],k∈N*
可得
4
k+1
+lnk≥2
,“累加求和”即可得出.
解答: (I)解:f′(x)=-
m
(x+1)2
+
n
x
,
∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為x+y-2=0.
∴f′(1)=-1,f(1)=1,
-
m
4
+n=-1
m
2
=1
,解得
m=2
n=-
1
2
,
f(x)=
2
x+1
-
1
2
lnx

f′(x)=-
2
(x+1)2
-
1
2x

當x∈[
1
e
,1],f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)在x∈[
1
e
,1]上單調(diào)遞減,
∴當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,f(1)=1.
∵對任意實數(shù)x∈[
1
e
,1],使得對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立,
∴對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有f(x)min≥t3-t2-2at+2成立,x∈[
1
e
,1],
即對任意的t∈[
1
2
,2]上恒有1≥t3-t2-2at+2成立?a≥
1
2
t2-
1
2
t+
1
2t
,對任意的t∈[
1
2
,2].
令g(t)=
1
2
t2-
1
2
t+
1
2t
,t∈[
1
2
,2].
g′(t)=t-
1
2
-
1
2t2
=
2t3-t2-1
2t2
=
(t-1)(2t2+t+1)
2t2
,
容易知道2t2+t+1>0.
令g′(t)>0,解得1<t≤2,此時函數(shù)g(t)單調(diào)遞增;令g′(t)<0,解得
1
2
t<1,此時函數(shù)g(t)單調(diào)遞減.
最大值只能在g(
1
2
)
或g(2)中取得,而g(
1
2
)
=
1
8
-
1
4
+1
=
7
8
,g(2)=
5
4

g(x)max=
5
4

a≥
5
4

∴實數(shù)a的取值范圍是[
5
4
,+∞)

(II)證明:由(I)可得f(x)=
2
x+1
-
1
2
lnx

f′(x)=-
2
(x+1)2
-
1
2x

∴當x∈(0,1],f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
∴?x∈(0,1],f(x)≥f(1)=1,
2
x+1
-
1
2
lnx≥1
,
令x=
1
k
∈(0,1],k∈N*
2
1
k
+1
-
1
2
ln
1
k
≥1
,
化為
4
k+1
+lnk≥2
,
∴對任意正整數(shù)n,有4
n
k=1
k
k+1
+
n
k=1
lnk≥2n.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)+ax
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若a∈(-1,0),函數(shù)g(x)=a|f′(x)|的圖象上存在P1,P2兩點,其橫坐標滿足1<x1<x2<6,且g(x)的圖象在此兩點處的切線互相垂直,求a的取值范圍.

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給出下列結(jié)論:
①已知命題:p:存在x∈R,tanx=1;,命題q:任意x∈R,x2-x+1>0,則命題“p∧¬q”是假命題;
②已知直線l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,則l1⊥l2的充要條件是
a
b
=-3;
③若sin(α+β)=
1
2
,sin(α-β)=
1
3
,則tanα=5tanβ;
④圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=
1
2
x,所得弦長為2.
其中正確命題序號為
 
(把你認為正確的命題序號都填上).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,兩塊斜邊長為
2
的直角三角形拼在一起,若
AD
=x
AB
+y
AC
(x,y∈R),設點F(x,y),則點F的坐標為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若直線AB的斜率是
3
,將直線AB繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后,所得直線的傾斜角是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+Φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<Φ<
π
2
)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為
π
2
,且圖象上的一個最低點為M(
3
,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)當x∈[
π
12
,
π
2
]時,求f(x)的值域.
(3)當x取何值是能使f(x)取得最大值?最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設5π<θ<6π,cos
θ
2
=a,那么sin
θ
4
=
 

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已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求|ai|(其中i=1,2,…,7)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

化簡
2
cos(x-
π
4
)-sinx=
 

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