Question

已知數(shù)列{x_n}的各項為不等于1的正數(shù)，其前n項和為S_n，點P_n的坐標為（x_n，S_n），若所有這樣的點P_n（n=1，2，…）都在斜率為k的同一直線（常數(shù)k≠0，1）上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設y_n=logxn2a2-3a+1滿足y_s=

1

2t+1

，y_t=

1

2s+1

（s，t∈N，且s≠t）共中a為常數(shù)，且1＜a＜

3

2

，試判斷，是否存在自然數(shù)M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得（k-1）x_n+1=kx_n，由此能證明{x_n}是公比為

k

k-1

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）存在自然數(shù)M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立，由1＜a＜

3

2

，得0＜2a²-3a+1＜1，設公比為q＞0首項為x₁，則x_n=x₁•q^n-1，得{

1

yn

}是以d為公差的等差數(shù)列．從而推導出當n＞M=（t+s）時，xn=(2a2-3a+1)

1

yn

＞1恒成立．

解答： （Ⅰ）證明：∵點p_n，p_n+1都在斜率為k的直線上，
∴

Sn+1-Sn

xn+1-xn

=k，即

xn+1

xn+1-xn

=k，…（1分）
故（k-1）x_n+1=kx_n
∵k≠0，x_n+1≠1，x_n≠1，…（3分）
∴

xn+1

xn

=

k

k-1

=常數(shù)，∴{x_n}是公比為

k

k-1

的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：答案是肯定的，即存在自然數(shù)M，使當n＞M時，x_n＞1恒成立．…（5分）
事實上，由1＜a＜

3

2

，得0＜2a²-3a+1＜1 …（6分）
∵y_n=log xn（2a²-3a+1），
∴

1

yn

=log (2a2-3a+1)x_n …（8分）
由（1）得{x_n}是等比數(shù)列，設公比為q＞0首項為x₁，則x_n=x₁•q^n-1（n∈N）
∴

1

yn

=（n-1）log (2a2-3a+1)q+log (2a2-3a+1)x₁
令d=log (2a2-3a+1)q，故得{

1

yn

}是以d為公差的等差數(shù)列．
又∵

1

ys

=2t+1，

1

yt

=2s+1，
∴

1

ys

-

1

yt

=2（t-s）
即（s-1）d-（t-1）d=2（t-s），
∴d=-2…（10分）
故

1

yn

=

1

ys

+（n-s）（-2）=2（t+s）-2n+1（n∈N）
又∵x_n=（2a²-3a+1）

1

yn

，（n∈N）
∴要使x_n＞1恒成立，即須

1

yn

＜0…（12分）
∴2（t+s）-2n+1＜0，∴n＞（t+s）+

1

2

，
當M=t+s，n＞M時，我們有

1

yn

＜0恒成立，
∵0＜2a²-3a+1＜1，
∴當n＞M=（t+s）時，xn=(2a2-3a+1)

1

yn

＞1恒成立．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列是等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的自然數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要注意構造法的合理運用．