Question

若?x∈D，總有f（x）≤F（x）≤g（x），則稱F（x）為f（x）與g（x）在D上的一個(gè)“分界函數(shù)”，如?x∈[0，1]，1-x≤（1+x）e^-2x≤

1

1+x

成立，則稱y=（1+x）e^-2x是y=1-x和y=

1

1+x

在[0，1]上的一個(gè)“分界函數(shù)”．
（Ⅰ）求證：y=cosx是y=1-

1

2

x²和y=1-

1

4

x²在[0，1]上的一個(gè)“分界函數(shù)”；
（Ⅱ）若f（x）=

x3

2

+ax+1和g（x）=（1+x）e^-2x-2xcosx在[0，1]上一定存在一個(gè)“分界函數(shù)”，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）證明1-

1

2

x²≤cosx，1-

1

4

x2≥cosx在[0，1]上恒成立即可，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性化為最值問(wèn)題即可；
（Ⅱ）若f（x）=

x3

2

+ax+1和g（x）=（1+x）e^-2x-2xcosx在[0，1]上一定存在一個(gè)“分界函數(shù)”，則x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立；構(gòu)造g（x）-f（x）=（1+x）e^-2x-2xcosx-（

x3

2

+ax+1），轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）證明：記h（x）=cosx-1+

1

2

x2，x∈[0，1]；
則h′（x）=-sinx+x，h″（x）=-cosx+1≥0，
∴h′（x）=-sinx+x在[0，1]上是增函數(shù)，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴h（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴x∈[0，1]時(shí)，1-

1

2

x²≤cosx．
記g（x）=1-

1

4

x2-cosx，x∈[0，1]；
則g′（x）=-

1

2

x+sinx，記g″（x）=-

1

2

+cosx＞0，
∴g′（x）=-

1

2

x+sinx，在[0，1]上是增函數(shù)，
∴g′（x）≥g′（0）=0，
∴g（x）=1-

1

4

x2-cosx在[0，1]上是增函數(shù)，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴x∈[0，1]時(shí)，1-

1

4

x2≥cosx，
綜上所述，x∈[0，1]時(shí)，y=cosx是y=1-

1

2

x²和y=1-

1

4

x²在[0，1]上的一個(gè)“分界函數(shù)”．
（Ⅱ）要使f（x），g（x）間一定存在“分界函數(shù)”，則x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立．
由已知，（1+x）e^-2x≥1-x，1-

1

4

x2≥cosx，
g（x）-f（x）=（1+x）e^-2x-2xcosx-（

x3

2

+ax+1）
≥1-x-2x（1-

1

4

x2）-（

x3

2

+ax+1）
=-（a+3）x，
∴當(dāng)a≤-3時(shí)，f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立．
當(dāng)a＞-3時(shí)，
由已知，（1+x）e^-2x≤

1

1+x

，1-

1

2

x²≤cosx，
g（x）-f（x）=（1+x）e^-2x-2xcosx-（

x3

2

+ax+1）
≤

1

1+x

-2x（1-

1

2

x²）-（

x3

2

+ax+1）
=

x2

1+x

+

x3

2

-（a+3）x
=

x

2

[x²+

2x

1+x

-2（a+3）]
≤

x

2

[x²+2x-2（a+3）]，
記h（x）=x²+2x-2（a+3）]，
必存在x₀∈（0，1）使h（x₀）＜0，
∴必存在x₀∈（0，1）使g（x₀）＜f（x₀），
則當(dāng)a＞-3時(shí)，f（x）≤g（x）在[0，1]上不恒成立．
綜上，a≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力與轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于難題．