Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）已知0≤x₁＜x₂，求證：e^x₂-x₁＞ln

e(x2+1)

x1+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再令h（x）=xe^x+e^x-1，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的最小值；
（2）由（1）得e^x₂-x₁＞ln（x₂-x₁+1）+1，令m（x）=ln（x₂-x₁+1）+1-ln

e(x2+1)

x1+1

，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡整理，得到大于0，再由不等式的傳遞性，即可得證．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=e^x-

1

x+1

=

xex+ex-1

x+1

（x＞-1），
令h（x）=xe^x+e^x-1，h′（x）=（x+2）e^x＞0，
則h（x）在（-1，+∞）遞增，由于h（0）=0，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，
則f（x）_min=f（0）=e⁰-ln1=1；
（2）證明：由（1）得當(dāng)x＞0時，e^x＞ln（x+1）+1，
由于0≤x₁＜x₂，
則e^x₂-x₁＞ln（x₂-x₁+1）+1，
則令m（x）=ln（x₂-x₁+1）+1-ln

e(x2+1)

x1+1

=ln

(x2-x1+1)(x1+1)

x2+1

=ln[1+

x1(x2-x1)

x2+1

]＞ln1=0，
即有l(wèi)n（x₂-x₁+1）+1＞ln

e(x2+1)

x1+1

，
則e^x₂-x₁＞ln

e(x2+1)

x1+1

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，運(yùn)用已知結(jié)論和不等式的傳遞性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．