Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（1）求當a分別取-1，0，1時，f（x）的最小值；
（2）求f（x）的最小值h（a）的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）考慮絕對值的定義，去絕對值，討論二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關系，即可得到最小值；
（2）改寫成分段函數(shù)的形式，再對a討論，①當a≥

1

2

時，②當-

1

2

＜a＜

1

2

時，③當a≤-

1

2

時，運用函數(shù)的單調性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）①a=-1，f（x）=x²+|x+1|+1，
當x＞-1時，f（x）=x²+x+2，最小值為f（-

1

2

）=

7

4

，
當x≤-1時，f（x）=x²-x，遞減，最小值為f（-1）=0．
則最小值為0；
②a=0時，x＞0，f（x）=x²+x+1，遞增，f（x）＞1；
x≤0，f（x）=x²-x+1，遞減，f（x）≥1．
則最小值為1；
③a=1時，x＞1時，f（x）=x²+x，遞增，f（x）＞2；
x≤1，f（x）=x²-x+2，f（x）≥f(

1

2

)=

7

4

．
則最小值為

7

4

．
（2）f（x）=x²+|x-a|+1=

(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 ，x≥a (x- 1 2 )2+a+ 3 4 ，x＜a

，
①當a≥

1

2

時，
f（x）_min=f（

1

2

）=a+

3

4

，
②當-

1

2

＜a＜

1

2

時，
f（x）_min=f（a）=a²+1，
③當a≤-

1

2

時，
f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

-a，
綜上所述，
f（x）_min=

a+ 3 4 ，a≥ 1 2 a2+1，- 1 2 ＜a＜ 1 2 3 4 -a，a≤- 1 2

．

點評：本題考查了絕對值函數(shù)轉化為分段函數(shù)求最小值的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．