Question

若對(duì)任意x∈[0，5]，不等式1+

m

4

x≤

2

4+x

≤1+

n

5

x恒成立，則一定有（　�。�

• A、m≤

  1

  2

  ，n≥-

  1

  3

• B、m≤-

  1

  2

  ，n≥-

  1

  3

• C、m≤-

  1

  2

  ，n≥

  1

  3

• D、m＜-

  1

  2

  ，n＞-

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作為選擇題可選用特殊值法如m=0時(shí)，由原不等式不恒成立，可排除A，再取n=0時(shí)，原不等式恒成立，可排除C，然后把m=-

1

2

代入1+

m

4

x≤

2

4+x

，利用導(dǎo)數(shù)證明對(duì)任意x∈[0，5]，不等式1+

m

4

x≤

2

4+x

恒成立排除D，則答案可求．

解答： 解：當(dāng)m=0時(shí)，1+

m

4

x≤

2

4+x

化為1≤

2

4+x

，對(duì)于任意x∈[0，5]不等式不恒成立，可排除A，
當(dāng)n=0時(shí)，不等式

2

4+x

≤1+

n

5

x化為

2

4+x

≤1，對(duì)于任意x∈[0，5]不等式恒成立，可排除C，
當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，令f（x）=

2

4+x

-1+

1

8

x，則f′(x)=-

1

(4+x)3

+

1

8

＞0對(duì)于任意x∈[0，5]恒成立，
∴f（x）為增函數(shù)，則f（x）＞f（0）=0．即不等式

2

4+x

≥1-

1

8

x恒成立．由此排除D，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題，作為客觀題可靈活地選擇方法，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的能力是中檔題．