Question

已知三角形的三條中線交于一點(diǎn)G，且G將每條中線分為2：1，若三角形三個頂點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．求證：
（1）G的坐標(biāo)為（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）；
（2）

GA

+

GB

+

GC

=

0

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意，

AG

=2

GE

，設(shè)G（x，y），利用向量相等，得到坐標(biāo)的關(guān)系，解出x，y即可；
（2）分別寫出

GA

，

GB

，

GC

，進(jìn)行向量的加法運(yùn)算，結(jié)合（1）的結(jié)論可得．

解答： 證明：（1）由題意，

AG

=2

GE

，設(shè)G（x，y），則

AG

=（x-x₁，y-y₁），

GE

=（

x2+x3

2

-x，

y2+y3

2

-y），
所以x-x₁=2（

x2+x3

2

-x），y-y₁=2（

y2+y3

2

-y），
解得x=

x1+x2+x3

3

，y=

y1+y2+y3

3

）；
所以G的坐標(biāo)為（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）；
（2）

GA

=(x1-x，y1-y)，

GB

=(x2-x，y2-y)，

GC

=(x3-x，y3-y)，
所以

GA

+

GB

+

GC

=（x₁+x₂+x₃-3x，y₁+y₂+y₃-3y），
由（1）可得，

GA

+

GB

+

GC

=

0

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形中線的坐標(biāo)與三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算．