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5.已知函數(shù)f(x)=4x272x,x∈[0,1].
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x-4-alnx,x∈(1e,e3),a∈R,若對于任意x0∈[0,1],總存在x1,x2∈(1e,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)的導數(shù),令導數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導數(shù)小于0,得減區(qū)間,進而求得f(x)的值域;
(2)對于任意x0∈[0,1],總存在x1,x2∈(1e,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(1e,e3)上不是單調(diào)函數(shù).…構(gòu)造函數(shù)g(x)=1-ax=xax,x∈(1e,e3),再由導數(shù)求得g(x)的最值,即可得到所求范圍.

解答 解:(1)f′(x)=2x12x72x2,x∈[0,1].…(2分)
f′(x)>0,解得12<x<1,
f′(x)<0,解得0<x<12
所以函數(shù)f(x)在(12,1)上是增函數(shù),在(0,12)上是減函數(shù).…(4分)
f(12)=-4,f(0)=-72,f(1)=-3.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(12,1),單調(diào)減區(qū)間為(0,12),值域為[-4,-3].…(6分)
(2)因為對于任意x0∈[0,1],總存在x1,x2∈(1e,e3),x1≠x2,使得g(x1)=g(x2)=f(x0)成立,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1e,e3)上不是單調(diào)函數(shù).…(8分)
g(x)=1-ax=xax,x∈(1e,e3).
因為g(x)在區(qū)間(1e,e3)上不是單調(diào)函數(shù),所以1e<x≤a,①且易知g(x)在區(qū)間(1e,a)上是減函數(shù),在區(qū)間(a,e3)上是增函數(shù).…(10分)
1e<x≤a時,g(a)≤g(x)<1e-4+a;當a≤x<e<3<時,g(a)≤g(x)<e3-4-3a.
根據(jù)題意,得g(a)<-4,②1e-4+a>-3,③e3-4-3a>-3.④…(14分)
解由①②③④組成的不等式組,得e<x<e313
所以a的取值范圍為(e,e313)…(16分)

點評 本題考查導數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值,主要考查不等式恒成立和存在性問題,注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)通過導數(shù)判斷單調(diào)性,求出最值,屬于難題.

練習冊系列答案
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