Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的極值；
（Ⅱ）已知n∈N^*且n≥2，求證：$ln\frac{n+1}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù) f'（x）=e^x-a，通過(guò)若a≤0，若a＞0，①當(dāng)0＜lna＜2，即1＜a＜e²時(shí)，②當(dāng)lna≥2或lna≤0，即a≥e²或0＜a≤1時(shí)，分別求解導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1在x=ln1=0處取得最小值0，推出e^x≥x+1．得到x≥ln（x+1），轉(zhuǎn)化為$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$，然后證明所證明的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ） f'（x）=e^x-a…（1分）
若a≤0，則在區(qū)間（0，2）上有f'（x）＞0恒成立，則f（x）在區(qū)間（0，2）上無(wú)極值；…（2分）
若a＞0，令f'（x）=0，則x=lna，
①當(dāng)0＜lna＜2，即1＜a＜e²時(shí)，當(dāng)0＜x＜lna時(shí)f'（x）＜0，2＞x＞lna時(shí)f'（x）＞0，
故此時(shí)f（x）在x=lna取得極小值f（lna）=a-alna-1． …（4分）
②當(dāng)lna≥2或lna≤0，即a≥e²或0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，2）上無(wú)極值…（5分）
綜上所述，當(dāng)a∈（-∞，1]∪[e²，+∞）時(shí)f（x）在區(qū)間（0，2）上無(wú)極值；
當(dāng)1＜a＜e²時(shí)f（x）在區(qū)間（0，2）上有極小值f（lna）=a-alna-1．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1在x=ln1=0處取得最小值0，
即恒有f（x）=e^x-x-1≥0，即e^x≥x+1．…（8分）
當(dāng)x＞-1時(shí)，兩邊取對(duì)數(shù)可得，x≥ln（x+1）（當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）…（9分）
令$x=\frac{1}{n}＞0，n∈{N^*}$，則$\frac{1}{n}＞ln（{\frac{1}{n}+1}）=ln\frac{n+1}{n}$，即$ln（{n+1}）-lnn＜\frac{1}{n}$…（10分）
∴$ln\frac{n+1}{2}=ln（{n+1}）-ln2=[{ln（{n+1}）-lnn}]+[{lnn-ln（{n-1}）}]+…+[{ln3-ln2}]$$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+…+\frac{1}{2}$，
故$ln\frac{n+1}{2}＜\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．