Question

已知點P（x，y）是圓（x+2）²+y²=1上任意一點．
（1）求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（2）求

y-2

x-1

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離d=

6

5

，大于半徑r=1，再根據(jù)P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r、最小值d-r，可得結(jié)論．
（2）令t=x-2y，則當圓（x+2）²+y²=1和此直線相切時，t取得最值．再根據(jù)圓心（-2，0）到直線x-2y-t=0的距離為1，求得t的值，即為所求．
（3）

y-2

x-1

表示圓上的點P（x，y）與點M（1，2）連線的斜率，設為k，則過點M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），由圓心到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得

y-2

x-1

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離d=

|-6+0+12|

9+16

=

6

5

，大于半徑r=1，
故P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=

11

5

，最小值d-r=

1

5

．
（2）令t=x-2y，即y=

x

2

-

t

2

，表示斜率為

1

2

、在y軸上的截距為-

t

2

的直線，
故當此直線和圓（x+2）²+y²=1相切時，t取得最值．
由圓心（-2，0）到直線x-2y-t=0的距離為半徑1，可得

|-2-0-t|

5

=1，
求得t=-2-

5

，或t=-2+

5

，
故t=x-2y的最大值為-2+

5

，t=x-2y的最小值為-2-

5

．
（3）

y-2

x-1

表示圓上的點P（x，y）與點M（1，2）連線的斜率，
設為k，則過點M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圓心到切線的距離等于半徑，可得

|-2k-0+2-k|

k2+1

=1，求得k=

3± 3

4

，
故

y-2

x-1

的最大值為

3+ 3

4

，最小值為

3- 3

4

．

點評：本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．