【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)滿足:x∈R都有f(x)+f(﹣x)=0,且x=1時,f(x)取極小值 .
(1)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[﹣1,1]時,證明:函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直:
(3)設(shè)F(x)=|xf(x)|,證明: 時, .
【答案】(1) (2)見解析(3)見解析
【解析】解:(1)因為,x∈R,f(﹣x)=﹣f(x)成立,所以:b=d=0,
由:f'(1)=0,得3a+c=0,由:,得
解之得:,c=﹣1從而,函數(shù)解析式為:
(2)由于,f'(x)=x2﹣1,
設(shè):任意兩數(shù)x1,x2∈[﹣1,1]是函數(shù)f(x)圖象上兩點的橫坐標(biāo),
則這兩點的切線的斜率分別是:k1=f'(x1)=x12﹣1,k2=f'(x2)=x22﹣1
又因為:﹣1≤x1≤1,﹣1≤x2≤1,所以,k1≤0,k2≤0,得:k1k2≥0知:k1k2≠﹣1
故,當(dāng)x∈[﹣1,1]是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點的切線不可能垂直)
(3)當(dāng):時,x2∈(0,3)且3﹣x2>0此時F(x)=|xf(x)|===
當(dāng)且僅當(dāng):x2=3﹣x2,即,取等號,故;
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【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的,其中
.且點為線段的中點, , 現(xiàn)將△沿進(jìn)行翻折,使得二面角
的大小為,得到圖形如圖(2)所示,連接,點分別在線段上.
(1)證明: ;
(2)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點到平面的距離.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實數(shù),使恒成立,若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]以平面直角坐標(biāo)系原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位,已知曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù),且),曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)求的極坐標(biāo)方程與的直角坐標(biāo)方程;
(2))若P是上任意一點,過點P的直線交于點M,N,求的取值范圍.
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【題目】已知平面上三個向量 的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°.
(1)求證: ;
(2)若|k |>1 (k∈R),求k的取值范圍.
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【題目】已知△ABC的三個頂點A(m,n)、B(2,1)、C(﹣2,3);
(1)求BC邊所在直線的方程;
(2)BC邊上中線AD的方程為2x﹣3y+6=0,且S△ABC=7,求點A的坐標(biāo).
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【題目】△ABC的外接圓半徑R= ,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且 =
(1)求角B和邊長b;
(2)求S△ABC的最大值及取得最大值時的a,c的值,并判斷此時三角形的形狀.
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【題目】張老師開車上班,有路線①與路線②兩條路線可供選擇. 路線①:沿途有兩處獨立運行的交通信號燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為,若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間2分鐘;若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間3分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時間為20分鐘.
路線②:沿途有兩處獨立運行的交通信號燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為,若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間8分鐘;若處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間5分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時間為15分鐘.
(1)若張老師選擇路線①,求他20分鐘能到校的概率;
(2)為使張老師日常上班途中所花時間較少,你建議張老師選擇哪條路線?并說明理由.
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【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的是( )
A. 與y=x+1
B.y=x與 (a>0且a≠1)
C. 與y=x﹣1
D.y=lgx與
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