Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若，且是函數(shù)的一個極值點，確定的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，且對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）.

【解析】

（1）求得和后，即可利用導數(shù)的幾何意義得到所求的切線方程；

（2）根據(jù)極值點的定義可確定，由此可得，分別在和兩種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）將恒成立的不等式化為，①當時，由恒成立可知，滿足題意；②當時，由時可知，滿足題意；由零點存在定理可驗證出和時存在的區(qū)間，不滿足題意；綜合幾種情況可得最終結果.

（1）當，時，，

則，，，

在處的切線方程為，即.

（2）當時，，，

是的一個極值點，，，

，

令，解得：，，

是一個極值點，，即，

①當，即時，

若和，；若，，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當，即時，

若和，；若，，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）當，時，對任意恒成立，

即對任意恒成立.

令，

則，

，，

①當時，對任意，恒成立，

在上單調(diào)遞減，，滿足題意；

②當時，

當時，，在上單調(diào)遞減，，

⑴當時，，在上單調(diào)遞減，

，

i.當時，，在上單調(diào)遞減，

，滿足題意；

ii.當時，由，，

，使得，則在上單調(diào)遞增，

當時，，不滿足題意；

⑵當時，由，當時，，

，使得，在上恒成立，

在上單調(diào)遞增，，

在上單調(diào)遞增，，不滿足題意；

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.