【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,解方程.
(2)當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
(1)根據(jù)對數(shù)運算法則化簡原方程得,再令,則原方程化為整理得求解可得原方程的解,注意對數(shù)函數(shù)的定義域;
(2)由化簡不等式為,令,當(dāng)時,得,所以當(dāng)時,恒成立,等價于在時恒成立,再令,證明函數(shù)在上單調(diào)遞增,并得出在上的最值,建立關(guān)于的不等式,可得實數(shù)的取值范圍.
(1)當(dāng)時,,,
所以方程化為且,即且,,
所以,即,
令,則原方程化為整理得,
解得或,即或,解得或,當(dāng)時,,,故舍去,
故原方程的解為:;
(2)由得,即,
令,當(dāng)時,,所以,
所以當(dāng)時,恒成立,等價于當(dāng)時,恒成立,即在時恒成立,
令,設(shè),,
所以,所以在上單調(diào)遞增,
所以,所以,所以,
解得或;
所以實數(shù)的取值范圍是或.
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【題目】如圖,已知圓O:和點,由圓O外一點P向圓O引切線,Q為切點,且有 .
(1)求點P的軌跡方程,并說明點P的軌跡是什么樣的幾何圖形?
(2)求的最小值;
(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點,試在其中求出半徑最小的圓的方程.
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【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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【題目】在底面半徑為6的圓柱內(nèi),有兩個半徑也為6的球面,兩球的球心距為13,若作一個平面與兩個球都相切,且與圓柱面相交成一橢圓,則橢圓的長軸長為 .
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【題目】已知點,圓.
(1)若直線過點且到圓心的距離為,求直線的方程;
(2)設(shè)過點的直線與圓交于、兩點(的斜率為負(fù)),當(dāng)時,求以線段為直徑的圓的方程.
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【題目】如圖為某大河的一段支流,岸線近似滿足∥寬度為7圓為河中的一個半徑為2的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護(hù)小島,段設(shè)計成與圓相切,設(shè)
(1)試將通道的長表示成的函數(shù),并指出其定義域.
(2)求通道的最短長.
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【題目】在抗擊新型冠狀病毒肺炎期間,為響應(yīng)政府號召,郴州市某單位組織了志愿者30人,其中男志愿者18人,用分層抽樣的方法從該單位志愿者中抽取5人去參加某社區(qū)的防疫幫扶活動.
(1)求從該單位男、女志愿者中各抽取的人數(shù);
(2)從抽取的5名志愿者中任選2名談此活動的感受,求選出的2名志愿者中恰有1名男志愿者的概率.
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【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其中標(biāo)號為0的小球1個,標(biāo)號為1的小球1個,標(biāo)號為2的小球個.若從袋子中隨機(jī)抽取1個小球,取到標(biāo)號為2的小球的概率是.
(1)求的值;
(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球,記第一次取出的小球標(biāo)號為,第二次取出的小球標(biāo)號為.
①記“”為事件,求事件的概率;
②在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù),,求事件“恒成立”的概率.
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