Question

【題目】如圖，已知圓O：和點(diǎn)，由圓O外一點(diǎn)P向圓O引切線，Q為切點(diǎn)，且有 .

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明點(diǎn)P的軌跡是什么樣的幾何圖形?

（2）求的最小值；

（3）以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是斜率為，在y軸上的截距為的直線，（2）（3）

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)P,根據(jù),列式化簡(jiǎn)即可得解;

(2)由可知,的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離;

(3)結(jié)合圓的性質(zhì)可知,與直線垂直,且圓與圓相切時(shí),半徑最小,據(jù)此求解即可.

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

,,

由題意有,整理為:,

故點(diǎn)P的軌跡方程為,

點(diǎn)P的軌跡是斜率為,在y軸上的截距為的直線;

(2)由和(1)可知,

的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離,

故其最小值為;

(3)由圓的性質(zhì)可知,當(dāng)直線與直線垂直時(shí),

以此時(shí)的點(diǎn)P為圓心,且與圓O相外切的圓即為所求,

此時(shí)的方程為,

聯(lián)立方程,解得,即,

又點(diǎn)O到直線的距離為,可得所求圓的半徑為,

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.