Question

【題目】在底面半徑為6的圓柱內(nèi)，有兩個半徑也為6的球面，兩球的球心距為13，若作一個平面與兩個球都相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則橢圓的長軸長為 ．

Answer 1

【答案】13

【解析】試題設(shè)兩個球的球心分別為O1、O2，橢圓的長軸為AB，作出由AB與O1O2確定平面α與兩個球及圓柱的截面，并過A作O1O2的垂線，交圓柱的母線于點C，連接O1與AB切球O1的切點D．分別在Rt△O1DE中和Rt△ABC中，利用∠BAC=∠DO1E和余弦的定義，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，即可解出AB的長，即得該橢圓的長軸長．

解：設(shè)兩個球的球心分別為O1、O2，所得橢圓的長軸為AB，

直線AB與O1O2交于點E，設(shè)它們確定平面α，

作出平面α與兩個球及圓柱的截面，如圖所示

過A作O1O2的垂線，交圓柱的母線于點C，設(shè)AB切球O1的大圓于點D，連接O1D

∵Rt△O1DE中，O1E=O1O2=，O1D=6

∴cos∠DO1E==

∵銳角∠DO1E與∠BAC的兩邊對應(yīng)互相垂直

∴∠BAC=∠DO1E，

得Rt△ABC中，cos∠BAC==

∵AC長等于球O1的直徑，得AC=12

∴橢圓的長軸AB=13

故答案為：13