Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時(shí)的x的值，列表如下：

x	┉	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	┉
y	┉	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	4.8	7.57	┉

請(qǐng)觀察表中y隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下問(wèn)題：
（1）函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在

 

上是單調(diào)遞減
（2）函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在

 

上是單調(diào)遞增
（3）當(dāng)x=

 

時(shí)，f（x）有最小值為

 

（4）對(duì)問(wèn)題（1）用定義法給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）（2）（3）根據(jù)表格可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求得最小值，（4）利用單調(diào)性的定義可作出證明．

解答： 解：（1）根據(jù)表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，
（2）根據(jù)表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
（3）由（1）（2）得：x=2時(shí)，f（x）有最小值f（2）=4，
故答案為：（1）（0，2）；（2，+∞），2，4；
（4）證明如下：
設(shè)2＞x₂＞x₁＞0，
則f（x₂）-f （x₁）=（x+

4

x2

）-（x+

4

x1

）=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2＞x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₂）-f （x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其證明，屬中檔題．