Question

已知動圓M與直線y=3相切，且過定點(diǎn)F（0，-3），
（1）求動圓圓心M的軌跡方程G；
（2）經(jīng)過點(diǎn)F（0，-3）的直線交（1）中曲線G于A，B兩點(diǎn)，證明：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)動圓M與直線y=3相切，且與定圓C：x²+（y+3）²=1外切，可得動點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與積，利用焦半徑公式表示|AF|，|BF|，代入

1

|AF|

+

1

|BF|

得答案．

解答： 解：（1）設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為r，
則由題意可得M到F（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，
由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以F（0，-3）為焦點(diǎn)，以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，
其軌跡G的方程為x²=-12y；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F（0，-3）的直線方程為x=ty-3，
再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AF|=3-y₁，|BF|=3-y₂，

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

3-y1

+

1

3-y2

=

6-(y1+y2)

9-3(y1+y2)+y1y2

  ①，
聯(lián)立

x=ty-3 x2=-12y

，得t²y²-（6t-12）y+9=0，
則y1+y2=

6t-12

t2

，y1y2=

9

t2

，
代入①，得

1

|AF|

+

1

|BF|

=

3- 6t-12 t2

9-3• 6t-12 t2 + 9 t2

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了拋物線的焦半徑公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．