如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,CD=2,PA=AD=AB=1,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:EB∥平面PAD;
(2)求直線BD與平面PCD所成的角;
(3)求二面角A-PC-D的大。
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)取PD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF,由已知條件得四邊形ABEF為平行四邊形,由此能證明EB∥平面PAD.
(2)由已知得平面PAD⊥平面ABCD,從而平面PCD⊥平面PAD,連結(jié)DE,則∠BDE為直線BD與平面PCD所成的角,由此能求出直線BD與平面PCD所成的角.
(3)過(guò)F作FG⊥PC于G,連結(jié)AG,由三垂線定理得,AG⊥PC,則∠FGA為二面角A-PC-D的平面角,由此能求出二面角A-PC-D的大。
解答: (1)證明:取PD的中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF,
則EF
.
 
1
2
CD,又BA
.
1
2
CD,
∴EF
.
BA,(2分)
∴四邊形ABEF為平行四邊形,∴EB∥FA,
又∵EB?平面PAD,F(xiàn)A?平面PAD,
∴EB∥平面PAD.(4分)
(2)解:∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面ABCD,
又∵CD⊥AD,
∴CD⊥平面PAD,又CD?平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAD,
∵PA=AD,F(xiàn)為PD的中點(diǎn),
∴AF⊥PD,
∴AF⊥平面PCD,又∵BE∥AF,∴BE⊥平面PCD,
連結(jié)DE,則∠BDE為直線BD與平面PCD所成的角,(6分)
在Rt△PCD中,
∴在Rt△ABD中,BD=
AD2+AB2
=
2
,
∴在Rt△BDE中,cosBDE=
DE
BD
=
6
2
2
=
3
2

∴∠BDE=30°,
即直線BD與平面PCD所成的角為30°.(8分)
(3)解:過(guò)F作FG⊥PC于G,連結(jié)AG,由三垂線定理得,AG⊥PC,
∴∠FGA為二面角A-PC-D的平面角,(10分)
∵Rt△PFG∽R(shí)t△PCD,
FG
CD
=
PF
PC

FG=
CD•PF
PC
=
2
2
6
=
1
3
,
在Rt△AFG中,tanFGA=
AF
FG
=
2
2
1
3
=
6
2
,
∴∠FGA=arctan
6
2

即二面角A-PC-D的大小為arctan
6
2
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的證明,考查直線與平面所成的角的大小的求法,考查二面角的大小的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△OAB的邊OA,OB上分別取點(diǎn)M,N,使|
OM
|:|
OA
|=1:3,|
ON
|:|
OB
|=1:4,設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P,記
OA
=
a
,
OB
=
b
,用
a
,
b
表示向量
OP

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-
a
x
(a∈R),求證:在[
|a|
,+∞)上方程f(x)=2013至多有一個(gè)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+
1
2
x2-ax+1(a>0).
(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
6
3

(Ⅰ)若原點(diǎn)到直線x+y-b=0的距離為
2
,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線和橢圓交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)|AB|=
3
,求b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-
1
2
x2-2x-
2
3

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)A(x0,y0)任意做兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B、C兩點(diǎn),求直線BC的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1),g(x)=
1
x2-1
+a,求f(x)=g(x)的根的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的方程x2+2(k-1)x+2k+6=0有兩個(gè)正實(shí)根,則k的取值范圍為
 

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