已知函數(shù)f(x)=x-
a
x
(a∈R),求證:在[
|a|
,+∞)上方程f(x)=2013至多有一個根.
考點:根的存在性及根的個數(shù)判斷
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:討論a的取值范圍,判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
解答: 證明:若a≥0時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時在[
|a|
,+∞)上方程f(x)=2013有一個根,
若a<0,則f(x)=x-
a
x
=x+
-a
x
(a∈R),則(0,
-a
)上單調(diào)遞減,在[
-a
,+∞)上單調(diào)遞增,
即在x=
-a
),函數(shù)取得最小值f(
-a
)=2
-a
,此時函數(shù)f(x)在[
|a|
,+∞)上單調(diào)遞增,
若2
-a
<2013時,此時方程f(x)=2013無解,
若2
-a
≥2013,方程f(x)=2013有1解,
綜上:在[
|a|
,+∞)上方程f(x)=2013至多有一個根.
點評:本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,注意要對a進行分類討論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若等差數(shù)列{an}滿足:
a11
a12
<-1,且其前n項和Sn有最大值.則當(dāng)數(shù)列{Sn}的前n項和取最大值時,n的值為( 。
A、12B、11C、23D、22

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解方程:x
3
4
=2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax(a∈R)
(1)若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象無公共點,試求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在兩個實數(shù)x1,x2且x1≠x2,滿足f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2),求證x1x2>e2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象通過原點,對稱軸為x=-2n,(n∈N*).f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且f′(0)=2n,(n∈N*).
(1)求f(x)的表達式(含有字母n);
(2)若數(shù)列{an}滿足an+1=f′(an),且a1=4,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)在(2)條件下,若bn=n•2 
an+1-an
2
,Sn=b1+b2+…+bn,是否存在自然數(shù)M,使得當(dāng)n>M時n•2n+1-Sn>50恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線的頂點是橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1的中心O,焦點與該橢圓的右焦點重合.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線交x軸于點Q,過點Q的直線l交拋物線于D、E兩點.求△ODE面積的最小值;
(Ⅲ)設(shè)A、B分別為橢圓C的左、右頂點,P為右準(zhǔn)線上不同于點Q的任意一點,若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N.求證:點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x,y均為正實數(shù),且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,CD=2,PA=AD=AB=1,E為PC的中點.
(1)求證:EB∥平面PAD;
(2)求直線BD與平面PCD所成的角;
(3)求二面角A-PC-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定點M(0,-1),點N是⊙F:x2+(y-1)2=8(F為圓心)上的動點,線段MN的垂直平分線交NF于點G,記點G的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+1與曲線E相交于A、B兩個不同點,以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,求直線l方程.

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同步練習(xí)冊答案