Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂且x₁≠x₂，滿足f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），求證x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由條件可知方程f（x）=g（x）無實(shí)數(shù)解，即lnx=ax無實(shí)數(shù)解，令h（x）=

lnx

x

，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最值，即可得到a的取值范圍；
（2）由條件得lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），故推出x₁•x₂＞e²等價(jià)于ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

再令令

x1

x2

=t，x₁•x₂＞e²等價(jià)于lnt＞

2(t-1)

t+1

，構(gòu)造g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，得到g（t）在（1，+∞）上遞增，從而得證．

解答： （1）解：∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點(diǎn)，
∴方程f（x）=g（x）無實(shí)數(shù)解，即lnx=ax無實(shí)數(shù)解，
則a=

lnx

x

，令h（x）=

lnx

x

，h′（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x＞e，h′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取極大值，也為最大值

1

e

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（

1

e

，+∞）．
（2）證明：令x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴x₁•x₂＞e²等價(jià)于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?a＞

2

x1+x2

，
即

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，則t＞1，x₁•x₂＞e²等價(jià)于lnt＞

2(t-1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
即有g(shù)（t）＞g（1）=0，即lnt＞

2(t-1)

t+1

成立．
故x₁•x₂＞e²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值、最值中的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬中檔題．