Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（-1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率為

1

2

，求橢圓上到l的距離為

3 5

5

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；
（Ⅱ）寫(xiě)出直線(xiàn)方程，可得切線(xiàn)方程，再利用兩條直線(xiàn)間的距離公式，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)直線(xiàn)l不存在斜率時(shí)可得，|S₁-S₂|=0；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁，x₂的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為F（-1，0），所以c=1，
又b²=3所以a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（Ⅱ）直線(xiàn)l的斜率為

1

2

，方程為x-2y+1=0，設(shè)切線(xiàn)y=

1

2

x+b，
與橢圓方程聯(lián)立，得4x²+4bx+4b²-12=0，
由△=0得b=±2，
∴切線(xiàn)方程為x-2y±4=0，
x-2y+4=0與l的距離為

|4-1|

5

=

3 5

5

，x-2y-4=0與l的距離為

|-4-1|

5

=

5

＞

3 5

5

∴橢圓上到l的距離為

3 5

5

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
（Ⅲ）當(dāng)直線(xiàn)l無(wú)斜率時(shí)，直線(xiàn)為x=-1，此時(shí)C(-1，-

3

2

)，D(-1，

3

2

)
△ABD與△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0                           …（7分）
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，顯然k≠0，
設(shè)直線(xiàn)為y=k（x+1）（k≠0）聯(lián)立橢圓方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0，且x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

…（8分）
此時(shí)|S1-S2|=

1

2

•|AB|•||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k(x1+x2)+2k|=

12|k|

3+4k2

…（10分）
因?yàn)閗≠0，上式=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 3 |k| •4|k|

=

3

當(dāng)k=±

3

2

時(shí)等號(hào)成立
綜上的，|S₁-S₂|的最大值為

3

         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，難度較大．