己知兩點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),動點P滿足條件||PF1|-|PF2||=2
3

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程E.
(Ⅱ)是否存在過點G(2,2)的直線l與曲線E交于不同的兩點N,N,使G平分線段MN,試證明你的結(jié)論.
(Ⅲ)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點),求k的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)動點P是以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點的雙曲線,且雙曲線的實軸為2
3
,由此能求出動點P的軌跡方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在存在過點G(2,2)的直線l與曲線E交于不同的兩點N,N,使G平分線段MN,利用點差法能求出存在過點G(2,2)的直線l,其方程為y=
1
3
x+
4
3

(Ⅲ)將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0.由此利用根的判別式和韋達定理結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)兩點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),動點P滿足條件||PF1|-|PF2||=2
3

∴動點P是以F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)為焦點的雙曲線,
且雙曲線的實軸為2
3

∴動點P的軌跡方程E為:
x2
3
-y2=1

(Ⅱ)假設(shè)存在存在過點G(2,2)的直線l與曲線E交于不同的兩點N,N,使G平分線段MN,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=4,
把M(x1,y1),N(x2,y2)代入
x2
3
-y2=1
,得:
x12
3
-y12=1
,①,
x22
3
-y12
=1,②
①-②,得:
(x1+x2)(x1-x2)
3
-(y1-y2)(y1+y2)=0,
4
3
(x1-x2)=4(y1-y2)

k=
y1-y2
x1-x2
=
1
3
,
∴直線l為:y-2=
1
3
(x-2)
,即y=
1
3
x+
4
3
,
把y=
1
3
x+
4
3
代入
x2
3
-y2=1
,得2x2-8x-25=0,
△=64+200>0,
∴存在過點G(2,2)的直線l,其方程為y=
1
3
x+
4
3

(Ⅲ)(2)將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0.
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-3k2≠0
△=72k2+36(1-3k2)>0
,
即k2
1
3
且k2<1.①
設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
,xAxB=
-9
1+3k2

OA
OB
>22得xAxB+yAyB>2,
而xAxB+yAy B =xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2

=(k2+1)xAxB+
2
k(xA+xB)+2
=(k2+1)•
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1+3k2
+2=
3k2+7
3k2-2

于是
3k2+7
3k2-2
>2,解得
1
3
k2
<3.②
由①、②得
1
3
<k2<1.
故k的取值范圍為(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1).
點評:本題考查點的軌跡方程的求法,考查直線方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意點差法的合理運用.
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命題:“若x,y都是奇數(shù),則x+y也是奇數(shù)”的逆否命題是( 。
A、若x+y是奇數(shù),則x與y不都是奇數(shù)
B、若x+y是奇數(shù),則x與y都不是奇數(shù)
C、若x+y不是奇數(shù),則x與y不都是奇數(shù)
D、若x+y不是奇數(shù),則x與y都不是奇數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,P是△ABC所在的平面內(nèi)一點,且滿足
BA
+
BC
=
2
3
BP
,D,E是BP的三等分點,則( 。
A、
BA
=
EC
B、
BA
+
BC
=
DP
C、
PA
+
PC
=4
BD
D、
PA
-
PC
=
BC
-
BA

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個頂點坐標為A(
2
,0),且拋物線y=
1
4
x2的焦點是橢圓C1的另一個頂點.
(l)求橢圓C1的方程;
(2)①若直線l:y=kx+m同時與橢圓C1和曲線C2:x2+y2=
4
3
相切,求直線l的方程.
②若直線l:y=kx+m與橢圓C1交于M,N,且直線OM的斜率是kOM與直線ON的斜率kON滿足kOM+kON=4k(k≠0),求證:m2為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△OAB的邊OA,OB上分別取點M,N,使|
OM
|:|
OA
|=1:3,|
ON
|:|
OB
|=1:4,設(shè)線段AN與BM交于點P,記
OA
=
a
,
OB
=
b
,用
a
b
表示向量
OP

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某中學對高二甲、乙兩個同類班級進行加強語文閱讀理解訓練對提高數(shù)學應(yīng)用題得分率作用的試驗,其中甲班為實驗班(常規(guī)教學,無額外訓練),在試驗前的測試中,甲、乙兩班學生在數(shù)學應(yīng)用題上的得分率基本一致,試驗結(jié)束后,統(tǒng)計幾次數(shù)學應(yīng)用試題測試的平均成績(均取整數(shù))如表所示:
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甲班(人數(shù))36111812
乙班(人數(shù))39131510
現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀.
(1)試分析估計兩個班級的優(yōu)秀率;
(2)由以上統(tǒng)計列出2×2列聯(lián)表.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
3
=1(a>0)的一個焦點為F(-1,0),左右頂點分別為A,B.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)若直線l的斜率為
1
2
,求橢圓上到l的距離為
3
5
5
的點的個數(shù);
(Ⅲ)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
6
3
,F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點,M、N兩點在橢圓C上,且
MF
FN
(λ>0),定點A(-4,0).
(Ⅰ)求證:當λ=1時
MN
AF
;
(Ⅱ)若當λ=1時有
AM
AN
=
106
3
,求橢圓C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的橢圓中,當M、N兩點在橢圓C上運動時,試判斷
AM
AN
×tan∠MAN是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出這時M、N兩點所在直線方程,若不存在,給出理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-
1
2
x2-2x-
2
3

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;
(2)當x∈[-1,1]時,f(x)<m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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