已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且
MF
=λ
FN
（λ＞0），定點(diǎn)A（-4，0）．
（Ⅰ）求證：當(dāng)λ=1時(shí)
MN
⊥
AF
；
（Ⅱ）若當(dāng)λ=1時(shí)有
AM
•
AN
=
106
3
，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的橢圓中，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷
AM
•
AN
×tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時(shí)M、N兩點(diǎn)所在直線方程，若不存在，給出理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），F(xiàn)（c，0），當(dāng)λ=1時(shí)，
MF
=
FN
，-y1=y2，x1+x2=2c，由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合已知條件能證明
MN
⊥
AF
．
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，設(shè)M(c，
b2
a
)，N(c，-
b2
a
)，
5
6
c2+8c+16=
106
3
，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅲ）
AM
•
AN
×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，設(shè)直線MN的方程為y=k（x-2），聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
6
+
y2
2
=1
，得（1+3k2）y2+4ky-2k2=0，由此利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件能求出直線的MN方程．
解答： （Ⅰ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），F(xiàn)（c，0），
則
FM
=(c-x1，-y1)，
NF
=(x2-c，y2)，
當(dāng)λ=1時(shí)，
MF
=
FN
，∴-y1=y2，x1+x2=2c，
由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，
∴
x
2
1
=a2(1-
y
2
1
b2
)，
x
2
2
=a2(1-
y
2
2
b2
)，∴
x
2
1
=
x
2
2

若x1=-x2，則x1+x2=0≠2c舍，∴x1=x2，
∴
MN
=(0，2y2)，
AF
=(c+4，0)，
∴
MN
⊥
AF
．（3分）
（Ⅱ）解：當(dāng)λ=1時(shí)，不妨設(shè)M(c，
b2
a
)，N(c，-
b2
a
)，
∴
AM
•
AN
=(c+4)2-
b4
a2
，
又a 2=
3
2
c2，b2=
c2
2
，∴
5
6
c2+8c+16=
106
3
，
橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
2
=1．（8分）
（Ⅲ）解：
AM
•
AN
×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|，
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-2），（k≠0）
聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
6
+
y2
2
=1
，得（1+3k2）y2+4ky-2k2=0，（10分）
∴|yM-yN|=
24k4+24k2
1+3k2
，
記t=
24k4+24k2
1+3k2
，s=1+3k2，
則t=
24
•
(
s-1
3
)2+(
s-1
3
)
s
=
2
6
3
•
1+
1
s
-
2
s2
（11分）
∴t≤
3
，當(dāng)s=4，即k=±1時(shí)取等號(hào)．
并且，當(dāng)k=0時(shí)
AM
•
AN
×tan∠MAN=0，
當(dāng)k不存在時(shí)|yM-yN|=
2
6
3
＜
3

綜上
AM
•
AN
×tan∠MAN有最大值，最大值為6
3
，
此時(shí)，直線的MN方程為x-y-2=0，或x+y-2=0（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的證明，考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P可向圓x2+y2=（
b
2
）2作切線PA，PB，若存在點(diǎn)P使得
PA
•
PB
=0，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�
A、[
3
，+∞）
B、（1，
3
]
C、[
3
，
5
）
D、（1，
5
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知兩點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件||PF1|-|PF2||=2
3
．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E．
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)G（2，2）的直線l與曲線E交于不同的兩點(diǎn)N，N，使G平分線段MN，試證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）化簡(jiǎn)f（α）=
sin(
π
2
-α)+sin(-π-α)
3cos(2π+α)+cos(
3π
2
-α)
；
（2）若tanα=2，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2且x1≠x2，滿足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求證x1x2＞e2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=x+
a
x
，a∈R且在[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的中心O，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q的直線l交拋物線于D、E兩點(diǎn)．求△ODE面積的最小值；
（Ⅲ）設(shè)A、B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)Q的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N．求證：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，你是否想到過有沒有等和數(shù)列呢？
（1）類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)？并加以說明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P（-2，-2），Q（0，-1），取一點(diǎn)R（2，m），要使PR+RQ最小，求m的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案