Question

執(zhí)信中學(xué)某研究性學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，提高廣州大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)廣州大道的交通狀況，在一般情況下，橋上車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到180輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)30輛/千米時(shí)，車(chē)流速度是
50千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)30≤x≤180時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度的一次函數(shù)；
（1）根據(jù)題意，當(dāng)0≤x≤180時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車(chē)流速度x多大時(shí)，車(chē)流量g（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大？并求出最大值．（注：車(chē)流量指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得當(dāng)0≤x≤30時(shí)v（x）的解析式，設(shè)出當(dāng)30≤x≤180時(shí)的一次函數(shù)解析式，代入點(diǎn)求得一次函數(shù)解析式，最后分段寫(xiě)出函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）利用f（x）=x•v（x）求得函數(shù)f（x）的解析式，然后分段求出每一段內(nèi)的最值，求最值中的最大者得答案．

解答： 解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤30時(shí)，v（x）=50；當(dāng)30≤x≤180時(shí)，v（x）=ax+b
再由已知得

30a+b=50 180a+b=0

，解得

a=- 1 3 b=60

---------（3分）
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v(x)=

50  (0≤x≤30) - 1 3 x+60  (30＜x≤180)

---------（5分）
（2）依題并由（I）可得g(x)=

50x  (0≤x≤30) (- 1 3 x+60)x  (30＜x≤180)

---------（6分）
當(dāng)0≤x≤30時(shí)，g（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=30時(shí)，其最大值為50×30=1500---------（7分）
當(dāng)30＜x≤180時(shí)，g(x)=(-

1

3

x+60)x=-

1

3

(x-90)2+2700≤2700---------（9分）
對(duì)比可得：當(dāng)x=90時(shí)，g（x）在區(qū)間[0，180]上取得最大值為2700，即當(dāng)車(chē)流密度為90輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值為2700輛/小時(shí)．---------（11分）
答：（1）函數(shù)v（x）的表達(dá)式v(x)=

50  (0≤x≤30) - 1 3 x+60  (30＜x≤180)

（2）當(dāng)車(chē)流密度為90輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值為2700輛/小時(shí)．---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了分段函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)的最值得求法，分段函數(shù)的最值要分段求，是中檔題．