Question

已知f（x）=2+log_ax（1≤x≤9），其中a滿足

4	(a-2)4

＜-a2+7a-10（a∈N）求函數(shù)y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用不等式求出a的范圍，利用函數(shù)的表達(dá)式化簡為log₃x的二次函數(shù)，求出新函數(shù)的定義域，然后求解最大值．

解答： 解：由

4	(a-2)4

＜-a2+7a-10得：
|a-2|＜-a²+7a-10，
⇒

a≥2 a-2＜-a2+7a-10

或者

a＜2 2-a＜-a2+7a-10

解得2＜a＜4，
又a∈N，∴a=3．f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），…（4分）y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2=2(2+2log3x)-[log3x+

1

2

]2
=-(log3x)2+3log3x+

15

4

=-(log3x-

3

2

)2+6…（8分）
又∵f（x）的定義域為[1，9]，
∴要使函數(shù)y=2f(x2)-[f(x)-

3

2

]2）有意義，
必須有

1≤x≤9 1≤x2≤9

∴1≤x≤3，∴0≤log₃x≤1．
故當(dāng)log₃x=0，即x=1時，y的最大值為

15

4

；
當(dāng)log₃x=1，即x=3時，y的最大值為

23

4

．…（12分）

點評：本題考查不等式的解法函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．